FORMULARIO    DE    TRIGONOMETRIA   PLANA


01.- Definicion de las seis razones trigonometricas

02.- Relaciones fundamentales entre las razones trigonometricas

03.- Razones trigonometricas de la suma de dos angulos

04.- Razones trigonomericas de la diferencia de dos angulos

05.- Razones trigonometricas del angulo doble

06.- Razones trigonometricas del angulo mitad

07.- Transformacion de sumas de razones en productos

08.- Transformacion de diferencias de razones en productos

09.- Transformacion de productos en sumas y diferencias

10.- Razon de la suma a la diferencia de dos angulos

11.- Razones trigonometricas del angulo triple

12.- Formulas especiales

13.- Formulas de Euler

14.- Formula de Moivre

15.- Razones trigonometricas de los angulos ( 0º, 90º, 180º, 270º, 360º)

16.- Razones trigonometricas de los angulos ( 30º, 45º, 60º )

17.- Signo de las razones trigonometricas

18.- Dominio y recorrido de las razones trigonometricas

19.- Representacion geometrica de las razones trigonometricas

20.- Representacion grafica de las funciones trigonometricas

21.- Teorema del seno

22.- Teorema del coseno

23.- Analogias de Molweide

24.- Analogias de Neper o teorema de las tangentes

25.- Formulas de Briggs

26.- Formulas a determinar

27.- Superficie de un triangulo rectangulo

28.- Superficie de un triangulo oblicuangulo

29.- Resolucion de triangulos rectangulos

30.- Resolucion de triangulos oblicuangulos

31.- Relaciones entre las razones trigonometricas de distinto angulo

32.- Problemas tipo de trigonometria



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FORMULARIO    DE    COMBINATORIA


01.- Conceptos fundamentales en la combinatoria

02.- Conceptos basicos en la combinatoria

03.- Variaciones ordinarias sin repeticion

04.- Variaciones con repeticion

05.- Permutaciones ordinarias sin repeticion

06.- Permutaciones con repeticion

07.- Combinaciones ordinarias sin repeticion

08.- Combinaciones con repeticion

09.- Triangulo de Pascal o de Tartaglia

10.- Potencia de un binomio. Binomio de Newton

11.- Generalizacion de numero combinatorio

12.- Potencia de un polinomio. Generalizacion del binomio de Newton









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FORMULARIO    DE    PROBABILIDADES


01.- Conceptos fundamentales en probabilidades

02.- Tipos de sucesos

03.- Algebra de sucesos: operaciones y propiedades

04.- Algebra de sucesos. Diagramas de Venn

05.- Axiomas de algebra de Boole y de $\sigma $-álgebra de sucesos

06.- Concepto axiomatico y clasico de probabilidad

07.- Propiedades de la probabilidad

08.- Teoremas notables de probabilidad

09.- Probabilidad condicionada

10.- Propiedades de la probabilidad condicionada

11.- Independencia y dependencia de sucesos

12.- Teoremas de la probabilidad total y de la probabilidad compuesta

13.- Teorema de Bayes

14.- Probabilidades:diagramas en arbol y tablas de contingencia.

15.- Tipos de espacios muestrales

16.- Problemas de Probabilidades.







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FORMULARIO    DE    ESTEREOMETRIA


01.- POLIEDROS. Elementos de un poliedro

02.- CUERPOS REDONDOS. Elementos de los cuerpos redondos

03.- Clasificaciones y familias de los poliedros

04.- Cilindros rectos

05.- Poliedros regulares convexos o solidos platonicos

06.- Cilindros oblicuos

07.- Solidos de Kepler - Poinsot

08.- Troncos de cilindro

09.- adlad

10.- Conos rectos

11.- Prismas rectos

12.- Conos oblicuos

13.- Prismas oblicuos

14.- Troncos de cono

15.- Troncos de prismas

16.- Esfera

17.- Piramides

18.- Superficie esferica

19.- Troncos de piramide

20.- Otros cuerpos redondos

21.- Prismatoides y prismoides

22.- Cuadricas: Eliposoides, parboloides , hiperboloides

23.- Solidos Platonicos

24.- Toro

25.- Solidos de Johnson

26.- Cuñas : esfericas, cilindricas, conicas, poliedricas





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FORMULARIO    DE    TRIGONOMETRIA   PLANA


01.- Definicion de las seis razones trigonometricas

02.- Relaciones fundamentales entre las razones trigonometricas



03.- Razones trigonometricas de la suma de dos angulos


04.- Razones trigonometricas de la diferencia de dos angulos


05.- Razones trigonometricas del angulo doble

06.- Razones trigonometricas del angulo mitad


07.- Transformacion de sumas de razones en productos


08.- Transformacion de diferencias de razones en productos


09.- Transformacion de productos en sumas y diferencias


10.- Razon de la suma a la diferencia de dos angulos


11.- Razones trigonometricas del angulo triple


12.- Formulas especiales


13.- Formulas de Euler


14.- Formula de Moivre


15.- Razones trigonometricas de los angulos ( 0º, 90º, 180º, 270º, 360º)


16.- Razones trigonometricas de los angulos ( 30º, 45º, 60º )


17.- Signo de las razones trigonometricas


18.- Dominio y recorrido de las razones trigonometricas


19.- Representacion geometrica de las razones trigonometricas

20.- Representacion grafica de las funciones trigonometricas

21.- Teorema del seno


22.- Teorema del coseno


23.- Analogias de Molweide


24.- Analogias de Neper o teorema de las tangentes


25.- Formulas de Briggs


26.- Formulas a determinar


27.- Superficie de un triangulo rectangulo


28.- Superficie de un triangulo oblicuangulo


29.- Resolucion de triangulos rectangulos


Definicion: Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área.

Casos de resolucion de triangulos rectangulos: Hay cuatro casos posibles. Es necesario conocer siempre dos datos:

  • 1.-   La hipotenusa y un cateto
  • 2.-   Los dos catetos
  • 3.-   Un cateto y un ángulo agudo
  • 4.-   La hipotenusa y un angulo agudo.

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

    Resolver el triángulo conociendo :

    Datos :   a = 415 m y b = 280 m.

    Incognitas :   B=?    C=?    c=?

    Solucion :

    sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25'

    C = 90° - 42° 25' = 47° 35'

    c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m




2. Se conocen los dos catetos

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

    Resolver el triángulo conociendo:

    Datos:  b = 33 m y c = 21 m .

    Incognitas :   B=?    C=?    a=?

    Solucion :

    tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32'

    C = 90° - 57° 32' = 32° 28'

    a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m




3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

    Resolver el triángulo conociendo:

    Datos:  a = 45 m y B = 22°.

    Incognitas :   C=?    b=?    c=?

    Solucion :

    C = 90° - 22° = 68°

    b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

    c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m




4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

    Resolver el triángulo conociendo:

    Datos:   b = 5.2 m y B = 37º

    Incognitas :   C=?    a=?    c=?

    Solucion :

    C = 90° - 37° = 53º

    a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

    c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m


30.- Resolucion de triangulos oblicuangulos

Definicion: Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área.

Casos de resolucion de triangulos oblicuangulos: Hay cuatro casos posibles. Es necesario conocer siempre tres datos:

  • 1.-   Un lado y dos angulos adyacentes a el
  • 2.-   Dos lados y el angulo comprendido
  • 3.-   Dos lados y un angulo opuesto
  • 4.-   Los tres lados.

1.Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él


Triángulo

Discusión

Discusión

Discusión




2.Resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido


Triángulo

Discusión

Discusión

Discusión





3.Resolver un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto


Triángulo

Discusión

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones



4.Resolver un triángulo conociendo los tres lados


Triángulo

Discusión

Discusión

Discusión

31.- Relaciones entre las razones trigonometricas de distinto angulo


32.- Problemas tipo de trigonometria

Tipo I
Conocida una razón trigonométrica de un ángulo desconocido se pide:
a) Dibujar dicho ángulo graficamente
b) Utilizando la calculadora expresar dicho ángulo en todos los sistemas de medidas de ángulos: sexagesimal, centesimal , lineal
c) Sin utilizar la calculadora hallar las restantes razones trigonométricas.
Tipo II
a) Simplificar cualquier expresión trigonométrica dada hasta lo máximo posible
b) Demostrar si son ciertas igualdades trigonometricas dadas.
Tipo III
Calcular el verdadero valor de una expresión trigonométrica para un valor dado de su ángulo, es decir calcular el limite de esa expresión para el valor del angulo dado
Tipo IV
Dado un ángulo cualquiera en un sistema cualquiera de angulos. Calcular todas las razones trigonométricas sin utilizar calculadora basándose en los ángulos conocidos de 30º, 45º, 60º.
Tipo V
Resolución de triángulos rectángulos .
Aplicaciones a problemas practicos de la vida real.
Tipo VI
Resolución de triángulos oblicuángulos.
Aplicaciones a problemas practicos de la vida real.
Tipo VII
Resolución de ecuaciones trigonométricas.
Resolucion de sistemas de ecuaciones trigonometricas


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FORMULARIO    DE    COMBINATORIA


01.- Conceptos fundamentales en la combinatoria

En todo problema combinatorio hay varios conceptos fundamentales que debemos distinguir:
1. Población
Es el conjunto total de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
2. Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
a) Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
b)Repetición
La posibilidad de repetición o no de los elementos.
02.- Conceptos basicos en la combinatoria

En todo problema combinatorio hay varios conceptos basicos que debemos dominar :
1.   Factorial de un numero
Factorial del numero natural n: Es el producto de los “n” factores naturales consecutivos desde “n” hasta 1.
El factorial de un número se denota por n! y se define como :
  
  
2.   Numero combinatorio
Numero combinatorio es el numero natural que se representa con los simbolos o tambien .
Se lee numero combinatorio m sobre n y se define :
   =
Propiedades de los numeros combinatorios
2.1   numero combinatorio sobre cero
  
2.2   numeros combinatorios complementarios
  
2.3   suma de numeros combinatorios, formula de Stieffel
  
03.- Variaciones ordinarias sin repeticion

Se llaman variaciones ordinarias sin repeticion de  m   elementos tomados de  n    en   n    siendo   ( m ≥ n )    a los distintos grupos formados por esos   n    elementos de forma que:
  1.   No   entran todos los elementos.
  2.   Si   importa el orden.
  3.   No   se repiten los elementos.
Las variaciones sin repeticion se representan con los simbolos siguientes:   variaciones

Se calculan por las dos formulas siguientes que son equivalentes:

  

  

04.- Variaciones con repeticion

Se llaman variaciones con repeticion de  m   elementos tomados de  n    en   n   a los distintos grupos formados por esos  n    elementos de forma que:
  1.   No  entran todos los elementos si m < n.
  2.   Si   pueden entrar todos los elementos si m ≥ n.
  3.   Si   importa el orden.
  4.   Si   se repiten los elementos.
Las variaciones con repeticion se representan con los simbolos siguientes:   variaciones   y tambien   variaciones

Se calcula por la formula siguiente:

  



05.- Permutaciones ordinarias sin repeticion

Se llaman permutaciones sin repeticion de   m   elementos    ( m = n )    a los distintos grupos formados por esos   m    elementos de forma que:
  1.   Si  entran todos los elementos
  2.   Si   importa el orden.
  3.   No  se repiten los elementos.
Las permutaciones ordinarias sin repeticion , son las variaciones sin repeticion de orden maximo es decir son las variaciones de  m  elementos tomados de   m  en  m  se representan con el simbolo siguiente:   variaciones

Se calcula por la formula siguiente:

  



0.6- Permutaciones con repeticion

Se llaman permutaciones con repeticion de   n   elementos   donde el primer elemento se repite  a  veces , el segundo elemento se repite  b  veces , el tercer elemento se repite   c   veces y asi sucesivamente siendo   n = a + b + c +...    a los distintos grupos formados por esos   n    elementos de forma que:
  1.   Si  entran todos los elementos
  2.   Si   importa el orden.
  3.   Si  se repiten los elementos.
Las permutaciones con repeticion, se representan con el simbolo siguiente:   variaciones

Se calculan por la formula siguiente:

  



0.7- Combinaciones ordinarias sin repeticion

Se llaman combinaciones sin repeticion de  m   elementos tomados de  n    en   n   siendo    ( m ≥ n )    a los distintos grupos formados por esos    n    elementos de forma que:
  1.   No   entran todos los elementos.
  2.   No   importa el orden.
  3.   No   se repiten los elementos.
Las combinaciones sin repeticion se representan con el simbolo siguiente    combinaciones sin repeticion

Se calculan por las dos formulas siguientes que son equivalentes:

   formula de las combinaciones sin repeticion

   formula de las combinaciones sin repeticion



0.8- Combinaciones con repeticion

Se llaman combinaciones con repeticion de  m   elementos tomados de  n    en   n   siendo    ( m ≥ n )    a los distintos grupos formados por esos    n    elementos de forma que:
  1.   ¿No ?  entran todos los elementos.
  2.   No   importa el orden.
  3.   Si   se repiten los elementos.
Las combinaciones con repeticion se representan con el simbolo siguiente    combinaciones con repeticion

Se calculan por la formula siguiente :

   formula de las combinaciones con repeticion





09.- Triangulo de Pascal o de Tartaglia

El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas, el primero con numeros combinatorios y el segundo los resultados numericos del mismo:
números combinatorios   números combinatorios

    Propiedades del triangulo de Pascal o de Tartaglia

  1. El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.
  2. Todas las filas empiezan y acaban en 1
      
  3. Todas las filas son simetricas
      números combinatorios complementarios
  4. Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.
      
  5. el Triangulo de Tartaglia es muy util para calcular los coeficientes del binomio de Newton
10.- Potencia de un binomio. Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

  

  

    Propiedades del Binomio de Newton

  1. Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.



  2. El número de términos es n+1


  3. En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.


  4. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
11.- Generalizacion de numero combinatorio

Numero combinatorio general es el numero natural que se representa con el simbolo:
     siendo    .
Se lee numero combinatorio de    n   sobre    y se define :
  

Propiedades de los numeros combinatorios generalizados
1   numero combinatorio de n    sobre       siendo   
  
12.- Potencia de un polinomio. Generalizacion del binomio de Newton

Esta fórmula nos permite hallar las potencias de un polinomio de k sumandos   

  

    Propiedades de la potencia de un polinomio

  1. Los coeficientes son.....



  2. El número de términos es .....


  3. En el desarrollo del polinomio los exponentes.......


  4. En el caso que uno de los términos del polinomio sea negativo,.....


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FORMULARIO    DE    PROBABILIDADES


01.- Conceptos fundamentales en probabilidades


Los acontecimientos o sucesos que ocurren en el universo y en particular en nuestro planeta tienen por origen o bien causas naturales las cuales son susceptibles de ser estudiados desde un punto de vista racional con metodologia cientifica y tecnologica y por lo tanto pueden ser "predecibles" o por el contrario pueden no tener una explicacion racional por leyes de la fisica, quimica u otras disciplinas, lo que da lugar a que estos sucesos sean "impredecibles" y entonces se dice que son fenomenos aleatorios, es decir son sucesos debidos al azar ,llamados tambien sucesos estocasticos.
La ciencia que estudia este tipo de fenomenos aleatorios, al azar o estocasticos constituye una poderosa rama de la Matematica conocida como Estadistica y Probabilidades .
Por todo lo anteriormente dicho podemos describir los siguientes conceptos fundamentales
1. Experimento, fenomeno o suceso
Es todo procedimiento, metodo o mecanismo que permite obtener algun resultado o conclusion .
2. Resultado
Es la conclusion o tesis al realizar cualquier experimento.
Hipotesis
Son las condiciones iniciales bajo las cuales se realiza un determinado experimento .
Prueba
Prueba o demostracion es el acto o hecho concreto mediante el cual se realiza el experimento .
Segun lo expuesto inicialmente, los experimentos pueden ser de dos tipos: Deterministas o aleatorios.
Veamos su definicion con mas rigor.
1. Determinista:
Un experimento es Determinista cuando el resultado de dicho experimento es conocido antes de realizar la prueba del mismo. Es decir los resultados son     predecibles   antes de realizar el experimento.
Los experimentos deterministas se rigen por las leyes de la fisica, quimica, matematica.....
El modelo matematico a estudiar en un experimento determinista es el siguiente:

  EXPERIMENTO    DETERMINISTA    +   HIPOTESIS    +     PRUEBA  =   RESULTADO SI PREDECIBLE

2. Aleatorio
Un experimento es aleatorio cuando el resultado de dicho experimento no es posible conocerlo antes de realizar la prueba del mismo, aun cuando la prueba se realice bajo las mismas condiciones inciales o hipotesis. Es decir los resultados son   impredecibles   antes de realizar el experimento. Los experimentos aleatorios no se rigen por ninguna ley cientifica conocida . Corresponde a la Estadistica y La Teoria de Probabilidades el estudio de estos fenomenos tan importantes en nuestro entorno.
El modelo matematico a estudiar en todo experimento aleatorio es el siguiente:

  EXPERIMENTO    ALEATORIO    +    HIPOTESIS    +    PRUEBA   =   RESULTADO NO PREDECIBLE



02.- Tipos de sucesos

A continuacion se procede a estudiar puntualmente todos los aspectos concernientes a los experimentos aleatorios o estocasticos :
1.   Espacio muestral
Es el conjunto de todos los sucesos posibles que pueden ocurrir en un determinado experimento aleatorio.
El espacio muestral se representa con la notacion siguiente :
      
2.   Suceso elemental
Es cualquier resultado obtenido en un determinado experimento aleatorio. Se representa con la letra "r".
Es cada uno de los elementos del espacio muestral
      
3.  Suceso seguro
Suceso seguro o suceso universal es el que siempre sucede y es el espacio muestral. Esta formado por todos los resultados posibles
      
4.   Suceso imposible
Es el suceso que no ocurre nunca por no tener ningun elemento y por tanto es el conjunto vacio que se representa con la letra. 
5.   Suceso compuesto
Es cualquier subconjunto   A   del espacio muestral   
      
6.   Suceso contrario
Suceso contrario del suceso   A   es el suceso complementario de   A   y se representa por el simbolo:        
Cuando se realiza el suceso     A   no se realiza el suceso contrario    y viceversa.
Se define de la siguiente manera:
      
Por tanto se verifica que
      
      
7.   Subsuceso
Es cualquier suceso  B  subconjunto de otro suceso   A  
     
8.   Sucesos compatibles
Dos sucesos   A   y   B  son sucesos compatibles cuando tienen algun suceso elemental comun
     
9.   Sucesos incompatibles
Dos sucesos   A   y   B  son sucesos incompatibles cuando no tienen ningun suceso elemental comun
     
Corolario : un suceso A y el suceso contario         son incompatibles.
Los sucesos incompatibles son por tanto conjuntos disjuntos
10.   Sucesos dependientes
Dos sucesos   A   y   B  son sucesos dependientes cuando la realizacion de uno de ellos   depende  de la realizacion o no del otro suceso
Ya veremos que la probabilidad de uno de los sucesos estara en funcion de que el otro suceso se haya realizado o no
11.   Sucesos independientes
Dos sucesos   A y   B  son sucesos independientes cuando la realizacion de uno de ellos   no depende  de la realizacion o no del otro suceso
Ya veremos que la probabilidad de uno de los sucesos no estara en funcion de que el otro suceso se haya realizado o no
12.   Espacio de sucesos
Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos posibles en un determinado experimento aleatorio.
Si E es el espacio muestral entonces el espacio de sucesos es  P(E)   .
Se define matematicamente como :
     
13.   Sistema completo de sucesos

Llamamos sistema completo de sucesos de un espacio muestral   E   a una familia de sucesos   { A1, A2, ...,An }  que cumplen:

  1. Son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos:    AiAj = Ø

  2. La unión de todos ellos es el suceso seguro:   


03.- Algebra de sucesos

Sea E el espacio muestral de un determinado experimento aleatorio y sea P(E) el espacio de sucesos correspondiente.
En el espacio de sucesos    P(E)    se definen cuatro operaciones binarias e internas o l.c.i. llamadas  union  , interseccion   ,diferencia de sucesos  , diferencia simetrica    y una operacion interna y unitaria llamada   complementacion   de la siguiente manera.
Sean los sucesos A y B del espacio muestral E.
       La  union  de sucesos se representa por el simbolo   union de sucesos   
       La  interseccion  de sucesos se representa por el simbolo  union de sucesos   
       La  diferencia  de sucesos se representa con el simbolo   A - B   
       La  diferencia simetrica  de sucesos se representa con el simbolo     
       La  complementacion  de sucesos se representa con el simbolo             

1.   Union de sucesos
la union de los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos de los sucesos A ó B
         

2.   Interseccion de sucesos
La interseccion de los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos de los sucesos A y B
         

3.   Diferencia de sucesos
La diferencia de los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A pero que no pertenecen al conjunto B
         


4.   Complementacion de sucesos
A cada suceso  A   del espacio de sucesos     P (E)    se le asocia otro suceso tambien del mismo espacio de sucesos llamado el suceso contrario que se representa con la notacion siguiente        
      


5.   Diferencia simetrica de sucesos
La diferencia simetrica de los sucesos A y B es el suceso formado por los elementos que pertenecen o bien al suceso A ó bien al suceso B pero no pertenecen a ambos a la vez y se representa con la notacion        
      


6.   Propiedades de la union e interseccion de sucesos

La union e interseccion de sucesos tienen las siguientes propiedades:

Propiedades Unión Intersección
1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Idempotente
4. Simplificación
5. Distributiva
6. Elemento neutro
7. Absorción


A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole.
Por tanto el espacio de sucesos    P(E)    dotado de las dos leyes de composicion internas, union e interseccion tiene estructura algebraica de    algebra de sucesos   y se representa con el simbolo      
  

7.   Propiedades de la complementacion de sucesos

La complementacion de sucesos tiene las siguientes propiedades:

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de dualidad o tambien mas usualmente llamadas como leyes de De Morgan:

  • El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

  • El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

  • Leyes de complementariedad:

  • Propiedad involutiva :

  • Complementariedad entre los elementos neutros :

  • Relacion entre complementariedad y diferencia de sucesos :


8.   Propiedades de la diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos tiene las siguientes propiedades:

  •       
  •   
  •   

9.   Propiedades de la diferencia simetrica de sucesos

La diferencia simetrica de sucesos tiene las siguientes propiedades:

  •   
  •   
  •   



04.- Algebra de sucesos. Diagramas de Venn

Dados dos sucesos, A y B, mediante los diagramas de Venn se pueden visualizar las operaciones definidas en el capitulo anterior:

Unión
Unión

es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Intersección
Intersección

es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.

Diferencia
Diferencia

es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Suceso contrario
Suceso contrario

El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

diferencia simetrica
diferencia simetrica

es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B pero no a la vez de A y de B .






05.- Conceptos axiomaticos de algebra de Boole de sucesos y de $\sigma $-álgebra de sucesos

A continuacion se procedera a definir de forma rigurosa y axiomaticamente los tres conceptos fundamentales en la teoria de la probabilidad que son : algebra de Boole de sucesos,   $\sigma $-álgebra de sucesos  y en el capitulo siguiente el concepto axiomatico de probabilidad.
1.   Algebra de Boole de sucesos

Sea un espacio muestral   E   se dice que la clase    $\cal A$   subconjunto del conjunto    P(E)   de las partes de    E    es un algebra de Boole de sucesos si y solo si la union finita de sucesos de   $\cal A$   tambien pertenece a    $\cal A$  y el complementario de cada suceso de    $\cal A$   tambien esta en    $\cal A$  .
Es decir la clase    $\cal A$   es cerrada para las dos operaciones internas union finita y complementariedad
Veamoslo de forma esquematica



1.   $\sigma $-álgebra de sucesos

Sea  $\cal A$   una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos a los que llamaremos sucesos del espacio muestral   E.
Diremos que esta clase  $\cal A$  es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  en el espacio muestral   E  si se verifican las dos condiciones siguientes:
1.-  Los sucesos complementarios de aquellos sucesos que están en  $\cal A$ también están en   $\cal A$ 
2.- Las uniones numerables (sean finitas o infinitas) de aquellos sucesos que están en  $\cal A$ también están en   $\cal A$ .
Esto se puede enunciar axiomaticamente como sigue :

concepto axiomatico de sigma-algebra


Observación acerca del concepto axiomatico de    $\sigma $-álgebra de sucesos

Podemos observar que la introduccion del concepto de $\sigma $-álgebra en un espacio muestral   E  puede parecer innecesaria a primera vista, ya que es una clase formada por subconjuntos de   E  que verifican ciertas propiedades relativas a la complementariedad y a las uniones finitas que ya verifica de antemano el conjunto denominado   partes de E , es decir el conjunto    P( E )    formado por todos los subconjuntos de  E.

Cuando el espacio muestral    E   de los posibles resultados de un experimento aleatorio sea finito, normalmente consideraremos como   $\sigma $-álgebra de sucesos al conjunto   P( E )   ya que es un conjunto sencillo y facil de manejar para definir en el una probabilidad.

Sin embargo cuando el espacio muestral    E    es infinito no numerable, la estructura del conjunto de las partes   P(E)   puede presentar propiedades extremadamente engorrosas para poder definir en el una probabilidad de manera sencilla . Entonces es más conveniente utilizar como $\sigma $-álgebra un subconjunto más pequeño suyo, pero no tanto que no nos permita realizar las operaciones de complementariedad o de uniones finitas que se precisan en la definición de un $\sigma $-álgebra.




0.6- Concepto axiomatico de probabilidad

Concepto axiomatico de espacio probabilizable

Sea   E un espacio muestral y sea    $\cal A$    una  $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E .
Diremos que el par formado por   ( E , espacio probabilistico)   es un espacio probabilistico o probabilizable si y solo si:
Concepto axiomatico de espacio de probabilidades

Sea   E  un espacio muestral y sea    $\cal A$    una   $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   $\sigma $-álgebra de sucesos      $\cal A$    .
Diremos que la terna formado por    ( E , espacio de probabilidades , p )     es un espacio de probabilidades si y solo si:


Concepto axiomatico de probabilidad

Dado un espacio muestral  E , y un $\sigma $-álgebra de sucesos $\cal A$sobre él,diremos que ${{\cal P}}$ es una probabilidad sobre $\cal A$si las siguientespropiedades (axiomas) son verificadas:

        Axioma-1.
La probabilidad es una función definida sobre $\cal A$y que sólo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1


\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
{{\cal P}}\;:\;{\cal A} & \longrightarrow ......n {\cal A} & \longmapsto & 0\leq{{\cal P}}[A]\leq 1\end{array}\end{displaymath}

        Axioma-2.
La probabilidad del suceso seguro es 1

\begin{displaymath}{{\cal P}}[E]=1\end{displaymath}

        Axioma-3.
La probabilidad de la unión numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades figura( abajo):

\begin{displaymath}A_1,A_2,\dots, A_n,\dots\: \in {\cal A} \Longrightarrow
{{\c...
...i=1}^{\infty} A_i\right] = \sum_{i=1}^{\infty} {{\cal P}}[A_i]
\end{displaymath}


  
Figura: El tercer axioma de probabilidad indica que si $A=A_1{\cup}A_2{\cup}\cdots$con $A_i{\cap }A_j=\emptyset $, entonces ${{\cal P}}[A]={{\cal P}}[A_1]+{{\cal P}}[A_2]+\cdots$
\includegraphics[angle=0, width=0.5\textwidth]{fig04-04.eps}



Observación acerca del concepto axiomatico de probabilidades
La introducción de la definición de $\sigma $-álgebra puede parecer innecesaria a primera vista, ya que es una clase formada por subconjuntos de   E  que verifican ciertas propiedades relativas a la complementariedad y a las uniones finitas que ya verifica de antemano el conjunto denominado   partes de E, es decir el conjunto    P( E )    formado por todos los subconjuntos de E.
Cuando el conjunto    E   de los posibles resultados de un experimento aleatorio sea finito, normalmente consideraremos como   $\sigma $-álgebra de sucesos al conjunto   P( E )  .
Esto ocurre cuando por ejemplo realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado:


\begin{displaymath}E=\{1,2,3,4,5,6\}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\cal A} = {P}(E) = \{ \emptyset, E, \{1\}, \{2\},\dots, \{1,2\},
\{1,3\},\dots,\{1,2,3\},\dots\}
\end{displaymath}

Cuando E es infinito no numerable, la estructura del conjunto P(E) puede presentar propiedades extremadamente engorrosas. Entonces es más conveniente utilizar como $\sigma $-álgebra un subconjunto más pequeño suyo, pero no tanto que no nos permita realizar las operaciones de complementariedad o de uniones finitas que se precisan en la definición de un $\sigma $-álgebra.
Por ejemplo, si realizamos el experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C14, se desintegre de modo natural, se tiene que


\begin{displaymath}E=I\!\!R^+,\end{displaymath}

sin embargo, el $\sigma $-álgebra de sucesos que consideramos no es $P(I\!\!R^+)$, que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar consideramos el $\sigma $-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas


\begin{displaymath}{\cal A} = \{ \emptyset,I\!\!R^+,\,(2,3)\, ,\, (4,5]{\cup}[8,+\infty)\,,\dots\}
\end{displaymath}

lo que por supuesto incluye a los puntos de $I\!\!R^+$, ya que por ejemplo


\begin{displaymath}\{2\}=[2,2].
\end{displaymath}

Este tipo de conjuntos (los intervalos) son los que nos interesan en la práctica, v.g. calcular la probabilidad de que el peso en kilogramos de un niño al nacer esté en el intervalo [2,4].
De esto modo vamos a realizar el siguiente convenio a lo largo del formulario:

Observacion primera: No haremos en general referencia al $\sigma $-álgebra de sucesos más que cuando sea estrictamente necesario. De este modo cuando a partir de ahora se diga `` $A\subset E$'', nos referiremos implícitamente a que $A\in {\cal{A}}$, donde $\cal A$ es un $\sigma $-álgebra de sucesos asociado a E y sobre el que se ha definido la función de probabilidad.

Observacion segunda: Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, entenderemos que el $\sigma $-álgebra de sucesos es por defecto P(E).

Observacion tercera:Si E es un conjunto infinito no numerable como $I\!\!R$,$I\!\!R^+$, o subconjuntos suyos en forma de intervalos, entenderemos que el $\sigma $-álgebra asociada es la mencionada en el ejemplo anterior, es decir, la formada por todos los intervalos abiertos, cerrados o semi-abiertos (lo que incluye en particular a los puntos), y sus uniones finitas.
De este modo podremos calcular probabilidades como las siguientes:


\begin{displaymath}{{\cal P}}[(2,3)]\;,\; {{\cal P}}[(2,5]{\cup}[4,7)]\;,\;{{\cal P}}[\{3\}]\;,\dots
\end{displaymath}




Concepto clasico de probabilidad ( Regla de Laplace )

Sea   E   espacio muestral y sea   A   un suceso del espacio muestral.
Se define la probabilidad del suceso   A  de la siguiente manera:



En donde para que esta definicion sea correcta deben ser todos los "casos equiprobables" , por este motivo la regla de Laplace el entrar el termino definido en la definicion , tiene una limitacion tan grande y muchas veces su aplicacion es totalmente incorrecta
Card(A)= numero de elementos del suceso A y Card(E) = numero de elementos del espacio muestral E
En este caso hablaremos de espacios muestrales finitos y discretos ademas de equiprobables
m(A)= medida del suceso A , y m(E)= medida del espacio muestral E
Esta medida puede venir expresada en unidades de longitud, de area o de volumen por lo que hablaremos de "probabilidades geometricas"....por cierto en la actualidad totalmente desconocidas lamentablemente




0.7- Propiedades de la probabilidad

Sean   E   el espacio muestral y consideramos los sucesos   A , B, C   de dicho espacio muestral.
Las propiedades fundamentales de la probabilidad son las siguientes:
  •   
  •   
  •   
  •   
  •   
  •   
  •   
  •   
  •   
  •   




0.8- Teoremas notables de probabilidad

Veamos los teorema mas notables acerca de probabilidades , con sus enunciados y formulas correspondientes:

Teorema de la probabilidad total para sucesos incompatibles o teorema de la adicion de probabilidades para sucesos incompatibles: aditividad finita y aditividad numerable

Aditividad finita

Sean A y B sucesos del espacio muestral E , tales que A y B son sucesos incompatibles , es decir disjuntos.
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es igual a la suma de sus probabilidades

         

Aditividad finita

Sean        una familia de "n" sucesos del espacio muestral E , tales que son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos        .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades

         

Aditividad numerable

Sean        una familia numerable sucesos del espacio muestral E , tales que son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos        .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades

         

Teorema de la probabilidad total para sucesos compatibles o teorema de la adicion de probabilidades para sucesos compatibles o aditividad fuerte

Sean A y B sucesos del espacio muestral E , tales que A y B son sucesos compatibles , es decir no disjuntos.
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su interseccion

         

Sean        una familia de "n" sucesos del espacio muestral E , tales que son compatibles .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades menos la suma de las probalidades de sus intersecciones y etc......

         

Teorema de la probabilidad de la union de sucesos en general: Formula de la subaditividad

Sean A y B sucesos cualesquiera del espacio muestral E .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es menor o igual que la suma de sus probabilidades respectivas

         

Sean        una familia de "n" sucesos cualequiera del espacio muestral E .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es menor o igual que la suma de sus probabilidades respectivas.

         

Formula de Poincare

La probabilidad de que entre    n   sucesos   dados de un espacio muestral E se verifiquen exactamente    r    sucesos   , siendo   r=0,1,2,....,n    viene dada por la formula de Poincare:


09.- Probabilidad condicionada

Teorema fundamental sobre la probabilidad condicionada

Sea   E  un espacio muestral y sea    $\cal A$    una   $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   $\sigma $-álgebra de sucesos      $\cal A$    y tambien sea la terna formado por    ( E , espacio de probabilidades , p )     el espacio de probabilidades correspondiente.
Sea  B  un suceso de    $\cal A$    tal que    p(B)>0    y sea la clase    subalgebra de un algebra   .
Entonces:

1)    subalgebra de un algebra   
2)    subalgebra de un algebra   

3)    definicion de probabilidad condicionada   

4)    espacio de probabilidades   


Observación acerca del concepto axiomatico de probabilidad condicionada
La idea de esta definicion de  p(A/B)   es que mide la probabilidad de que ocurra el suceso A condicionado a que ha ocurrido el suceso B y estima el grado de influencia de dicho suceso B en la verificacion del suceso A.
Por ser muy engorrosa la notacion    espacio de probabilidades    emplearemos a partir de ahora ya que no da lugar a confusiones , la notacion mucho mas sencilla con el simbolo de   p   asi que en lo sucesivo pondremos que    espacio de probabilidades
Queda por dejar mas claro este concepto de probabilidad condicionada mediante algun diagrama de Venn




10.- Propiedades de la probabilidad condicionada

Propiedades fundamentales sobre la probabilidad condicionada

Sea   E  un espacio muestral y sea    $\cal A$    una   $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   $\sigma $-álgebra de sucesos      $\cal A$    y tambien sea la terna formado por    ( E , espacio de probabilidades , p )     el espacio de probabilidades correspondiente.
Sea  B  un suceso de    $\cal A$    tal que    p(B)>0    y sea la clase    subalgebra de un algebra   .
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1)    p(E/B)=1   

2)    p(B/B)=1   

3)    propiedad condicionada 3   

4)    espacio de probabilidades   
5)    espacio de probabilidades   
6)    espacio de probabilidades   


11.- Independencia y dependencia de sucesos

Sea   E   un espacio muestral y sean   A   y   B   dos sucesos cualesquiera de dicho espacio muestral. Vamos a definir en primer lugar el siguiente concepto  "el suceso A es independiente del suceso B".   De forma inmediata y como corolario se demuestra que   si el suceso A es independiente de B entonces reciprocamente sucede que el suceso B tambien es independiente del suceso A  . Por este motivo se hablara en adelante al tratar de la independencia de sucesos de la forma siguiente :   "sean los sucesos independientes A y B"   con ello estamos diciendo que A es independiente de B y reciprocamente que B es independiente de A.
1.  Definicion: A suceso independiente del suceso B

   definicion de sucesos independientes   

2.  Definicion: A suceso dependiente del suceso B

   definicion de sucesos dependientes   

3.   Tautologias sobre la dependencia y la independencia

a)   corolario primero de la definicion de sucesos independientes   

b)   corolario segundo de la definicion de sucesos independientes   

c)   corolario tercero de la definicion de sucesos independientes   

d)   corolario cuarto de la definicion de sucesos independientes   

e)   corolario quinto de la definicion de sucesos independientes   

f)   corolario sexto de la definicion de sucesos independientes   

2.  Definicion generalizada:   { A1, A2, ..., An } sucesos independientes

   definicion  generalizada de sucesos independientes   




12.- Teoremas de la probabilidad total y de la probabilidad compuesta

Definicion de "Sistema completo de sucesos"

Llamamos sistema completo de sucesos de un espacio muestral   E   a una familia de sucesos   { A1, A2, ...,An }  que cumplen:

  1. Son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos:    AiAj = Ø

  2. La unión de todos ellos es el suceso seguro:   

Teorema de la probabilidad total o de la suma o adicion de probabilidades (la probabilidad total hace referencia a la union de sucesos)

1)  sucesos condicionados

Sea  { A1, A2, ..., An } un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai).
Entonces la probabilidad   p(B)  del suceso  B  viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad Total sucesos condicionados

   Corolario:
Como siempre cualquier suceso y su contrario  sistema completo suceso y contrario  forman un sistema completo de sucesos se tiene el siguiente corolario muy utilizado en ejercicios:

   propiedad probabilidad condicionada 6   
2)  sucesos incompatibles

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de sucesos disjuntos dos a dos es decir incompatibles dos a dos .
Entonces la probabilidad de la union de todos los sucesos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad Total sucesos incompatibles

3)  sucesos compatibles

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de sucesos compatibles , es decir no son disjuntos dos a dos todos ellos .
Entonces la probabilidad de la union de todos los sucesos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos menos la suma de las probabilidades de sus intersecciones y etc.etc.....y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad Total suceso compatibles


Teorema de la probabilidad compuesta o del producto o de la multiplicacion de probabilidades
(la probabilidad compuesta hace referencia a la interseccion de sucesos)

1)  sucesos independientes

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de n sucesos independientes.
Entonces la probabilidad de la interseccion de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad  compuesta sucesos independientes

2)   sucesos dependientes

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de n sucesos dependientes.
Entonces la probabilidad de la interseccion de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades condicionadas y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad compuesta sucesos dependientes



Ejercicio 7-1 Ejercicio 7-2 Ejercicio 7-3 Ejercicio 7-4
13.- Teorema de Bayes

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes o tambien como formula de Bayes.

Teorema o formula de Bayes

Sea   A1, A2, ...,An   un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   P(B/Ai) .
Entonces la probabilidad   P(Ai/B)   viene dada por la expresión conocida como formula de Bayes:

Fórmula de Bayes

Las probabilidades  p(Ai)   se denominan probabilidades a "priori" o de las "causas o hipótesis".

Las probabilidades   p(Ai/B)  se denominan probabilidades a "posteriori".

Las probabilidades  p(B/Ai)  se denominan verosimilitudes.

Corolario del Teorema o formula de Bayes

Sea          un sistema completo de sucesos del espacio muestral   E   formado por un suceso y el suceso contrario, tales que la probabilidad de cada uno de ellos      y      es conocida y distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales          . y      
Entonces las probabilidades             y               vienen dadas como corolario por la formula de Bayes:

Fórmula de Bayes Fórmula de Bayes
Fórmula de Bayes


En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, se construya una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.

Ejercicio 13-1 Ejercicio 13-2 Ejercicio 13-3 Ejercicio 13-4

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14.- Probabilidades con diagramas en arbol y tablas de contingencia. Paso de uno a otro modo

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

  • Conversión de una tabla en diagrama de árbol

    Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.

    Tabla de
    contingencia
    A TOTAL
    B P( A B ) P( B ) P( B )
    P( A ) P( ) P( )
    TOTAL P( A ) P( ) 1

    En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.




    Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .

    Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:


    Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

    En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

    Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

  • Conversión de un diagrama en arbol en tabla de contingencia

    De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión

    P( BA ) = P( B/A ) · P( A ),

    para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Ejercicio 14-1 Ejercicio 14-2 Ejercicio 14-3 Ejercicio 14-4



tablas de contingencia y diagramas en arbol
15.- Tipos de espacios muestrales

A continuacion se procede a estudiar detenidamente los diversos tipos de espacios muestrales que pueden existir, asi como las probabilidades definidas en cada   $\sigma $-álgebra de sucesos  definida en dicho espacio muestral :
1.   Espacio muestral finito

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral finito    si es un conjunto    E    formado por un numero finito de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=n   siendo    n   un numero natural,es decir        .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=$\cal A$   y la probabilidad de cada suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen.
Veamoslo de forma esquematica



2.   Espacio muestral finito equiprobable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral finito equiprobable   si es un conjunto    E    formado por un numero finito de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=n   siendo    n   un numero natural es decir        , y ademas la probabilidad de cada suceso elemental toma siempre el mismo valor .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=$\cal A$   y la probabilidad de cada suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen y por tanto es el inverso del numero de elementos que lo componen.
Veamoslo de forma esquematica

      

3.  Espacio muestral numerable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral numerable   si es un conjunto    E    formado por una cantidad numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=$\cal A$   y la probabilidad de cada suceso es la suma finita o infinita de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen .
Veamoslo de forma esquematica

      

4.   Espacio muestral no numerable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral no numerable   si es un conjunto    E    formado por una cantidad no numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto verifica    Card(E)>Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    $\cal A$   y la probabilidad de cada suceso va en funcion de la definicion de la probabilidad asociada.
Veamoslo de forma esquematica

      


5.   Espacio muestral no numerable uniforme

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral no numerable y uniforme   si es un conjunto    E    formado por una cantidad no numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto verifica    Card(E)>Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    $\cal A$   y la probabilidad de cada suceso va en funcion de la medida uniforme de dicho conjunto. La medida puede ser longitud, superficie, volumen, etc. Esto da lugar a las olvidadas probabilidades geometricas tan interesantes
Veamoslo de forma esquematica

      

6.   Espacio muestral discreto

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral discreto    si es un espacio muestral finito o numerable .

7.   Espacio muestral continuo

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral continuo    si es un espacio muestral no numerable .


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FORMULARIO    DE    ESTEREOMETRIA


01.- Poliedros. Elementos de un Poliedro


POLIEDRO: Es toda región cerrada del espacio limitada por polígonos planos llamadas caras y que tiene un volumen finito

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico (polyedron), de la raíz (polys), "muchas" y de (edra), "base", "asiento", "cara".

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

Elementos de un poliedro
Caras
Son los poligonos planos que limitan al poliedro.
Aristas
Son los lados de lo poligonos planos que limitan al poliedro.
Vertices
Son los vértices de los polígonos planos o los puntos donde concurren las aristas
Angulos diedros
: Son los ángulos formados por dos caras consecutivos con una arista común
Angulos Poliedros
: Son los ángulos formados por tres o más caras con un vértice común. Pueden ser ángulos triédricos, tetraédricos, pentaédricos, etc.
Diagonales
Son los segmentos que unen dos vértices no situados en la misma cara
Planos Diagonales
Son los planos determinados por tres vértices no situados en la misma cara
Desarrollo
Es la figura plana obtenida al extender sobre un plano de forma ordenada y consecutiva todas las caras del poliedro
Area
Es la medida numerica finita , expresada en unidades de superficie de la suma finita de las áreas de todas las caras del poliedro.
Formula del area: Es la expresion matematica para calcular el area del poliedro
Volumen
Es la medida numerica finita , expresada en unidades de volumen de la porcion finita de espacio limitada por todas las caras del poliedro
Formula del volumen : Es la expresion matematica para calcular el volumen del poliedro

elementos de un poliedro


03.- Clasificaciones y familias de los poliedros

La clasificacion de los poliedros puede ser atendiendo a diversos puntos de vista, por este motivo existen diversas y numerosas clasificaciones que en ningun modo son excluyentes :


Denominación de los poliedros

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo : tetraedro (4-caras), pentaedro (5 caras), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.

Frecuentemente un poliedro se clasifica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.

Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian:

  • Poliedros Convexos :Poliedro que verifica que cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno en el poliedro.

  • Poliedros concavos :Poliedro que verifica por lo menos hay un par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo pero los une un segmento de recta que no esta dentro del cuerpo.

  • Poliedro de caras regulares: cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.

  • Poliedro de caras uniformes: cuando todas las caras del poliedro son iguales.

  • poliedro de aristas uniformes: cuando los pares de caras que se reúnen en cada arista son iguales.

  • poliedro de vértices uniformes : cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.

  • poliedro regular o regular y uniforme : cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.

  • Poliedro dual o conjugado :Poliedro dual o conjugado de un poliedro dado, es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las cara del otro poliedro dado.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.

Familias de poliedros

Poliedros regulares

poliedro regular : es aquel que tiene los angulos diedros y poliedros iguales y las caras son poligonos regulares iguales
Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono. Un poliedro regular es identificado por su símbolo de Schläfli de la forma {n, m}, donde n es el número de lados en una cara, y m,el número de caras que se encuentran en un vértice.

Los nueve poliedros regulares

Sólo existen un total de nueve poliedros regulares agrupados en dos familias diferentes:
poliedros regulares convexos: 5 convexos
poliedros regulares concavos: 4 concavos

Poliedros regulares convexos o solidos platonicos o solidos de platon

Existen cinco poliedros regulares convexos :llamados tambien solidos platonicos.
Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Tetraedro regular Hexaedro regular  o cubo Octaedro regular Dodecaedro regular Icosahedro regular
Tetraedro {3, 3} Cubo {4, 3} Octaedro {3, 4} Dodecaedro {5, 3} Icosaedro {3, 5}












Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón , quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofía (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoció el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros.

Poliedros regulares no convexos o Solidos de Kepler-Poinsot

A parte de los cinco poliedros regulares convexos, existen otros cuatro poliedros regulares cóncavos , conocidos como Sólidos de Kepler-Poinsot:

Pequeño dodecaedro estrellado Gran dodecaedro estrellado Gran dodecaedro Gran icosaedro
Pequeño dodecaedro estrellado
{5/2, 5}
Gran dodecaedro estrellado
{5/2, 3}
Gran dodecaedro
{5, 5/2}
Gran icosaedro
{3, 5/2}












Sólidos platónicos

Los Sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos.
Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad.
Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Poliedros irregulares

Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras o ángulos desiguales.

Poliedros duales o conjugados

Poliedro dual o conjugado de un poliedro dado es el poliedro es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las cara del otro poliedro dado.
Propiedades de los poliedros duales

  • El poliedro dual del dual es similar al original
  • El dual de un poliedro con vértices equivalentes es otro con caras equivalentes
  • El dual de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes
  • los vértices del dual son los recíprocos de los planos de la cara del original
  • las caras del dual yacen en las recíprocas de los vértices del original

Sólidos arquimedianos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes.
Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, elIcosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.

Prismas y antiprismas

Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos.

Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3.

Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.

Otras familias de poliedros

Sólidos de Johnson

Los solidos de Johnson son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos de caras regulares restantes; sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.

Son en total 92 y entre ellos se enumeran:

  • Pirámide triangular elongada.
  • Rotunda pentagonal elongada.
  • Girobifastigium.
  • Girobicupola cuadrangular giroelongada, que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
  • etc.

Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas, respectivamente; por ende, también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes.

Sólidos de Catalán

los solidos de Catalan son trece solidos .Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa.
Por ejemplo, el dual delicosaedro(20 caras y 12 vértices) es el (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.

Entre los sólidos de Catalán se encuentran el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal. Trece en total.

Deltaedros

Se llama deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos Platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, el Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.


05.- Poliedros regulares convexos o solidos platonicos

Los sólidos platónicos : son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos.

Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.


Historia

Las propiedades de estos solidos platonicos son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo» . Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes ( como Proclo ) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto , un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Propiedades

1.- Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

  • Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
  • En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de vértices.
  • Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
  • Todos los ángulos diedrosque forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
  • Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

2.- Simetría

Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

  • Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio ( centro de simetría ) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
  • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
  • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

  • Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro. Radio inscrito "r"
  • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
  • Una tercera esfera circunscrita, que pasa por todos los vértices del poliedro.Radio circunscrito "R"

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

3.- Conjugación

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Formula de Euler

El Teorema de poliedros de Euler, mas conocido como "formula de Euleer" enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:

C + V = A + 2

Tabla comparativa resumen de los solidos platonicos

Sólidos Platónicos tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
tetraedro hexaedro o cubo octaedro dodecaedro icosaedro
Desarrollo Desarrollo  animado del Tetraedro Desarrollo animado del hexaedro o Cubo Octaedro desarrollo animado Dodecaedro desarrollo animado Icosaedro desarrollo animado
Número de caras 4 6 8 12 20
Polígonos que forman
las caras
Triángulos Equiláteros Cuadrados Triángulos Equiláteros Pentágonos Regulares Triángulos Equiláteros
Número de aristas 6 12 12 30 30
Número de vértices 4 8 6 20 12
Caras concurrentes
en cada vértice
3 3 4 3 5
Vértices contenidos
en cada cara
3 4 3 5 3
Grupo de simetría Tetraédrico (Td) Hexaédrico (Hh) Octaédrico (Oh) Icosaédrico (Lh) Icosaédrico (Lh)
Poliedro conjugado Tetraedro (autoconjugado) Octaedro Hexaedro, Cubo Icosaedro Dodecaedro
Símbolo de Schläfli {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}
Símbolo de Wythoff 3 | 2 3 3 | 2 4 4 | 2 3 3 | 2 5 5 | 2 3
Ángulo diedro 70.53°
= arccos(1/3)
90° 109.47°
= arccos(-1/3)
116.56° 138.189685°
Radio externo  R= \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot a r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a r_u=\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}
 \approx  0.612 \cdot a  0.866 \cdot a  0.707 \cdot a 1.401258538 \cdot a 0.9510565163 \cdot a
Radio interno  r= \frac{ \sqrt{6} }{12} \cdot a  r= \frac{ {a} } {2} r_i={a} \sqrt{ \frac{2}{3} } r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } r_i=\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)
 \approx  0.204 \cdot a  0.5 \cdot a  0.816 \cdot a 1.113516364 \cdot a 0.7557613141\cdot a


Poliedros regulares en la naturaleza

En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del virus del sida conocido como VIH es un icosaedro regular .

Curiosidades

Los dados de rol utilizados en algunos juegos de rol tienen las formas de los sólidos platónicos: dado de veinte (D20), dado de doce (D12), dado de diez (D10, aunque no es un sólido platónico; es un sólido formado por dos pirámides pentagonales unidas por su base), dado de ocho (D8), dado de seis (D6) y dado de cuatro (D4). Cada dado se utiliza para uno o más propósitos particulares dependiendo de cada juego.





04.- fdkldkjflklklkn

kfldkjfldskflkdslfk




05.- Solidos de Kepler - Poinsot

Un sólido de Kepler (también llamado sólido de Kepler-Poinsot) es un poliedro regular no convexo, cuyas caras son todas polígonos regulares y que tiene en todos sus vértices el mismo número de caras que se encuentran ( compárese con los sólidos platónicos ).

Las caras están solo parcialmente en la superficie del sólido, y las partes expuestas están sólo conectadas en puntos (si están conectadas de algún modo). Si las partes se cuentan como caras separadas, el sólido deja de ser regular. Vemos los sólidos de Kepler-Poinsot con sus símbolos de Schläfli.

solidos de Kepler-Poinsot

Un sólido de Kepler cubre su esfera circunscrita más de una vez, con los centros de las caras como puntos direccionales en los sólidos con caras en forma de pentagrama, mientras que en los otros son los vértices los que cumplen esa función. Por esta razón, no son necesariamente equivalentes topológicos de la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la característica de Euler V - E + F = 2 se verifica solamente para el solido Gran dodecaedro estrellado y para el Gran icosaedro.

Esto dependerá de cómo observemos el poliedro. Considérese, por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado. Consiste de un dodecaedrocon una pirámide pentagonal en cada una de sus 12 caras. En consecuencia, las 12 caras se extienden a pentagramas con el pentágono central dentro del sólido. La parte externa de cada cara consiste de cinco triángulos conectados por sólo cinco puntos. Si las contamos separadamente, hay 60 caras (pero estas son triángulos isósceles, no polígonos regulares). De modo similar, cada lado puede ser contado como tres, pero entonces los habrá de dos tipos. Igualmente, con los "cinco puntos" antes mencionados: en total habrá 20 puntos que pueden contarse como vértices, por lo que tendremos un total de 32 vértices (otra vez, de dos tipos). Ahora la ecuación de Euler se verifica: 60 - 90 + 32 = 2.



Historia

Los sólidos de Kepler fueron definidos por Johannes Kepler en 1619, cuando notó que los dodecaedros estrellados (tanto el grande como el pequeño) se componían de dodecaedros "ocultos" (con caras pentagonales) que tienen caras compuestas de triángulos, tomando la apariencia de estrellas estilizadas. En realidad, Wenzel Jamnitzer halló el gran dodecaedro estrellado en el siglo XVI, y Paolo Uccello descubrió y dibujó el pequeño dodecaedro estrellado en el siglo XV. La contribución de Kepler fue reconocer que cumplían con la definición de sólidos regulares, aunque fueran cóncavos en lugar de convexos como los tradicionales sólidos platónicos. Los otros dos, el gran icosaedro y el gran dodecaedro, fueron descritos por Louis Poinsot en 1809, razón por la que en alguna literatura aparecen como Sólidos de Poinsot.

Tipos

Hay cuatro sólidos de Kepler distintos:


Tabla comparativa resumen de los solidos de Kepler

Sólidos de Kepler-Poinsot
Nombre Imagen Caras Aristas Vértices Simetría
K1 Pequeño dodecaedro estrellado Pequeño dodecaedro estrellado

Animacion girando
12 12 × pg 30 12 12 × 5/25 Ih
K2 Gran dodecaedro estrellado Gran dodecaedro estrellado
Animacion girando
12 12 × pg 30 20 20 × 5/23 Ih
K3 Gran icosaedro Gran icosaedro
Animacion girando
20 20 × te 30 12 12 × 35/2 Ih
K4 Gran dodecaedro Gran Dodecaedro.jpg
Animacion girando
12 12 × pr 30 12 12 × 55/2 Ih
pg = pentagramas; pr = pentágonos regulares ; te = triángulos equiláteros

Los dos primeros son estrellamientos, es decir, sus caras son cóncavas. Los otros dos tienen caras convexas, pero cada par de caras que se encuentra en un vértice de hecho lo hace en dos.



0.6- Concepto axiomatico de probabilidad

Concepto axiomatico de espacio probabilizable

Sea   E un espacio muestral y sea    $\cal A$    una  $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E .
Diremos que el par formado por   ( E , espacio probabilistico)   es un espacio probabilistico o probabilizable si y solo si:
Concepto axiomatico de espacio de probabilidades

Sea   E  un espacio muestral y sea    $\cal A$    una   $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   $\sigma $-álgebra de sucesos      $\cal A$    .
Diremos que la terna formado por    ( E , espacio de probabilidades , p )     es un espacio de probabilidades si y solo si:


Concepto axiomatico de probabilidad

Dado un espacio muestral  E , y un $\sigma $-álgebra de sucesos $\cal A$sobre él,diremos que ${{\cal P}}$ es una probabilidad sobre $\cal A$si las siguientespropiedades (axiomas) son verificadas:

        Axioma-1.
La probabilidad es una función definida sobre $\cal A$y que sólo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1


\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
{{\cal P}}\;:\;{\cal A} & \longrightarrow ......n {\cal A} & \longmapsto & 0\leq{{\cal P}}[A]\leq 1\end{array}\end{displaymath}

        Axioma-2.
La probabilidad del suceso seguro es 1

\begin{displaymath}{{\cal P}}[E]=1\end{displaymath}

        Axioma-3.
La probabilidad de la unión numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades figura( abajo):

\begin{displaymath}A_1,A_2,\dots, A_n,\dots\: \in {\cal A} \Longrightarrow
{{\c...
...i=1}^{\infty} A_i\right] = \sum_{i=1}^{\infty} {{\cal P}}[A_i]
\end{displaymath}


  
Figura: El tercer axioma de probabilidad indica que si $A=A_1{\cup}A_2{\cup}\cdots$con $A_i{\cap }A_j=\emptyset $, entonces ${{\cal P}}[A]={{\cal P}}[A_1]+{{\cal P}}[A_2]+\cdots$
\includegraphics[angle=0, width=0.5\textwidth]{fig04-04.eps}



Observación acerca del concepto axiomatico de probabilidades
La introducción de la definición de $\sigma $-álgebra puede parecer innecesaria a primera vista, ya que es una clase formada por subconjuntos de   E  que verifican ciertas propiedades relativas a la complementariedad y a las uniones finitas que ya verifica de antemano el conjunto denominado   partes de E, es decir el conjunto    P( E )    formado por todos los subconjuntos de E.
Cuando el conjunto    E   de los posibles resultados de un experimento aleatorio sea finito, normalmente consideraremos como   $\sigma $-álgebra de sucesos al conjunto   P( E )  .
Esto ocurre cuando por ejemplo realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado:


\begin{displaymath}E=\{1,2,3,4,5,6\}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\cal A} = {P}(E) = \{ \emptyset, E, \{1\}, \{2\},\dots, \{1,2\},
\{1,3\},\dots,\{1,2,3\},\dots\}
\end{displaymath}

Cuando E es infinito no numerable, la estructura del conjunto P(E) puede presentar propiedades extremadamente engorrosas. Entonces es más conveniente utilizar como $\sigma $-álgebra un subconjunto más pequeño suyo, pero no tanto que no nos permita realizar las operaciones de complementariedad o de uniones finitas que se precisan en la definición de un $\sigma $-álgebra.
Por ejemplo, si realizamos el experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C14, se desintegre de modo natural, se tiene que


\begin{displaymath}E=I\!\!R^+,\end{displaymath}

sin embargo, el $\sigma $-álgebra de sucesos que consideramos no es $P(I\!\!R^+)$, que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar consideramos el $\sigma $-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas


\begin{displaymath}{\cal A} = \{ \emptyset,I\!\!R^+,\,(2,3)\, ,\, (4,5]{\cup}[8,+\infty)\,,\dots\}
\end{displaymath}

lo que por supuesto incluye a los puntos de $I\!\!R^+$, ya que por ejemplo


\begin{displaymath}\{2\}=[2,2].
\end{displaymath}

Este tipo de conjuntos (los intervalos) son los que nos interesan en la práctica, v.g. calcular la probabilidad de que el peso en kilogramos de un niño al nacer esté en el intervalo [2,4].
De esto modo vamos a realizar el siguiente convenio a lo largo del formulario:

Observacion primera: No haremos en general referencia al $\sigma $-álgebra de sucesos más que cuando sea estrictamente necesario. De este modo cuando a partir de ahora se diga `` $A\subset E$'', nos referiremos implícitamente a que $A\in {\cal{A}}$, donde $\cal A$ es un $\sigma $-álgebra de sucesos asociado a E y sobre el que se ha definido la función de probabilidad.

Observacion segunda: Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, entenderemos que el $\sigma $-álgebra de sucesos es por defecto P(E).

Observacion tercera:Si E es un conjunto infinito no numerable como $I\!\!R$,$I\!\!R^+$, o subconjuntos suyos en forma de intervalos, entenderemos que el $\sigma $-álgebra asociada es la mencionada en el ejemplo anterior, es decir, la formada por todos los intervalos abiertos, cerrados o semi-abiertos (lo que incluye en particular a los puntos), y sus uniones finitas.
De este modo podremos calcular probabilidades como las siguientes:


\begin{displaymath}{{\cal P}}[(2,3)]\;,\; {{\cal P}}[(2,5]{\cup}[4,7)]\;,\;{{\cal P}}[\{3\}]\;,\dots
\end{displaymath}




Concepto clasico de probabilidad ( Regla de Laplace )

Sea   E   espacio muestral y sea   A   un suceso del espacio muestral.
Se define la probabilidad del suceso   A  de la siguiente manera:



En donde para que esta definicion sea correcta deben ser todos los "casos equiprobables" , por este motivo la regla de Laplace el entrar el termino definido en la definicion , tiene una limitacion tan grande y muchas veces su aplicacion es totalmente incorrecta
Card(A)= numero de elementos del suceso A y Card(E) = numero de elementos del espacio muestral E
En este caso hablaremos de espacios muestrales finitos y discretos ademas de equiprobables
m(A)= medida del suceso A , y m(E)= medida del espacio muestral E
Esta medida puede venir expresada en unidades de longitud, de area o de volumen por lo que hablaremos de "probabilidades geometricas"....por cierto en la actualidad totalmente desconocidas lamentablemente




0.7- Propiedades de la probabilidad

Sean   E   el espacio muestral y consideramos los sucesos   A , B, C   de dicho espacio muestral.
Las propiedades fundamentales de la probabilidad son las siguientes:
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0.8- Teoremas notables de probabilidad

Veamos los teorema mas notables acerca de probabilidades , con sus enunciados y formulas correspondientes:

Teorema de la probabilidad total para sucesos incompatibles o teorema de la adicion de probabilidades para sucesos incompatibles: aditividad finita y aditividad numerable

Aditividad finita

Sean A y B sucesos del espacio muestral E , tales que A y B son sucesos incompatibles , es decir disjuntos.
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es igual a la suma de sus probabilidades

         

Aditividad finita

Sean        una familia de "n" sucesos del espacio muestral E , tales que son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos        .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades

         

Aditividad numerable

Sean        una familia numerable sucesos del espacio muestral E , tales que son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos        .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades

         

Teorema de la probabilidad total para sucesos compatibles o teorema de la adicion de probabilidades para sucesos compatibles o aditividad fuerte

Sean A y B sucesos del espacio muestral E , tales que A y B son sucesos compatibles , es decir no disjuntos.
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su interseccion

         

Sean        una familia de "n" sucesos del espacio muestral E , tales que son compatibles .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades menos la suma de las probalidades de sus intersecciones y etc......

         

Teorema de la probabilidad de la union de sucesos en general: Formula de la subaditividad

Sean A y B sucesos cualesquiera del espacio muestral E .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es menor o igual que la suma de sus probabilidades respectivas

         

Sean        una familia de "n" sucesos cualequiera del espacio muestral E .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es menor o igual que la suma de sus probabilidades respectivas.

         

Formula de Poincare

La probabilidad de que entre    n   sucesos   dados de un espacio muestral E se verifiquen exactamente    r    sucesos   , siendo   r=0,1,2,....,n    viene dada por la formula de Poincare:


09.- Probabilidad condicionada

Teorema fundamental sobre la probabilidad condicionada

Sea   E  un espacio muestral y sea    $\cal A$    una   $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   $\sigma $-álgebra de sucesos      $\cal A$    y tambien sea la terna formado por    ( E , espacio de probabilidades , p )     el espacio de probabilidades correspondiente.
Sea  B  un suceso de    $\cal A$    tal que    p(B)>0    y sea la clase    subalgebra de un algebra   .
Entonces:

1)    subalgebra de un algebra   
2)    subalgebra de un algebra   

3)    definicion de probabilidad condicionada   

4)    espacio de probabilidades   


Observación acerca del concepto axiomatico de probabilidad condicionada
La idea de esta definicion de  p(A/B)   es que mide la probabilidad de que ocurra el suceso A condicionado a que ha ocurrido el suceso B y estima el grado de influencia de dicho suceso B en la verificacion del suceso A.
Por ser muy engorrosa la notacion    espacio de probabilidades    emplearemos a partir de ahora ya que no da lugar a confusiones , la notacion mucho mas sencilla con el simbolo de   p   asi que en lo sucesivo pondremos que    espacio de probabilidades
Queda por dejar mas claro este concepto de probabilidad condicionada mediante algun diagrama de Venn




10.- Propiedades de la probabilidad condicionada

Propiedades fundamentales sobre la probabilidad condicionada

Sea   E  un espacio muestral y sea    $\cal A$    una   $\sigma $-álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   $\sigma $-álgebra de sucesos      $\cal A$    y tambien sea la terna formado por    ( E , espacio de probabilidades , p )     el espacio de probabilidades correspondiente.
Sea  B  un suceso de    $\cal A$    tal que    p(B)>0    y sea la clase    subalgebra de un algebra   .
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1)    p(E/B)=1   

2)    p(B/B)=1   

3)    propiedad condicionada 3   

4)    espacio de probabilidades   
5)    espacio de probabilidades   
6)    espacio de probabilidades   


11.- Independencia y dependencia de sucesos

Sea   E   un espacio muestral y sean   A   y   B   dos sucesos cualesquiera de dicho espacio muestral. Vamos a definir en primer lugar el siguiente concepto  "el suceso A es independiente del suceso B".   De forma inmediata y como corolario se demuestra que   si el suceso A es independiente de B entonces reciprocamente sucede que el suceso B tambien es independiente del suceso A  . Por este motivo se hablara en adelante al tratar de la independencia de sucesos de la forma siguiente :   "sean los sucesos independientes A y B"   con ello estamos diciendo que A es independiente de B y reciprocamente que B es independiente de A.
1.  Definicion: A suceso independiente del suceso B

   definicion de sucesos independientes   

2.  Definicion: A suceso dependiente del suceso B

   definicion de sucesos dependientes   

3.   Tautologias sobre la dependencia y la independencia

a)   corolario primero de la definicion de sucesos independientes   

b)   corolario segundo de la definicion de sucesos independientes   

c)   corolario tercero de la definicion de sucesos independientes   

d)   corolario cuarto de la definicion de sucesos independientes   

e)   corolario quinto de la definicion de sucesos independientes   

f)   corolario sexto de la definicion de sucesos independientes   

2.  Definicion generalizada:   { A1, A2, ..., An } sucesos independientes

   definicion  generalizada de sucesos independientes   




12.- Teoremas de la probabilidad total y de la probabilidad compuesta

Definicion de "Sistema completo de sucesos"

Llamamos sistema completo de sucesos de un espacio muestral   E   a una familia de sucesos   { A1, A2, ...,An }  que cumplen:

  1. Son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos:    AiAj = Ø

  2. La unión de todos ellos es el suceso seguro:   

Teorema de la probabilidad total o de la suma o adicion de probabilidades (la probabilidad total hace referencia a la union de sucesos)

1)  sucesos condicionados

Sea  { A1, A2, ..., An } un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai).
Entonces la probabilidad   p(B)  del suceso  B  viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad Total sucesos condicionados

   Corolario:
Como siempre cualquier suceso y su contrario  sistema completo suceso y contrario  forman un sistema completo de sucesos se tiene el siguiente corolario muy utilizado en ejercicios:

   propiedad probabilidad condicionada 6   
2)  sucesos incompatibles

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de sucesos disjuntos dos a dos es decir incompatibles dos a dos .
Entonces la probabilidad de la union de todos los sucesos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad Total sucesos incompatibles

3)  sucesos compatibles

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de sucesos compatibles , es decir no son disjuntos dos a dos todos ellos .
Entonces la probabilidad de la union de todos los sucesos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos menos la suma de las probabilidades de sus intersecciones y etc.etc.....y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad Total suceso compatibles


Teorema de la probabilidad compuesta o del producto o de la multiplicacion de probabilidades
(la probabilidad compuesta hace referencia a la interseccion de sucesos)

1)  sucesos independientes

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de n sucesos independientes.
Entonces la probabilidad de la interseccion de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad  compuesta sucesos independientes

2)   sucesos dependientes

Sea  { A1, A2, ..., An } un conjunto de n sucesos dependientes.
Entonces la probabilidad de la interseccion de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades condicionadas y viene dada por la expresión siguiente:

Probabilidad compuesta sucesos dependientes



Ejercicio 7-1 Ejercicio 7-2 Ejercicio 7-3 Ejercicio 7-4
13.- Teorema de Bayes

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes o tambien como formula de Bayes.

Teorema o formula de Bayes

Sea   A1, A2, ...,An   un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   P(B/Ai) .
Entonces la probabilidad   P(Ai/B)   viene dada por la expresión conocida como formula de Bayes:

Fórmula de Bayes

Las probabilidades  p(Ai)   se denominan probabilidades a "priori" o de las "causas o hipótesis".

Las probabilidades   p(Ai/B)  se denominan probabilidades a "posteriori".

Las probabilidades  p(B/Ai)  se denominan verosimilitudes.

Corolario del Teorema o formula de Bayes

Sea          un sistema completo de sucesos del espacio muestral   E   formado por un suceso y el suceso contrario, tales que la probabilidad de cada uno de ellos      y      es conocida y distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales          . y      
Entonces las probabilidades             y               vienen dadas como corolario por la formula de Bayes:

Fórmula de Bayes Fórmula de Bayes
Fórmula de Bayes


En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, se construya una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.

Ejercicio 13-1 Ejercicio 13-2 Ejercicio 13-3 Ejercicio 13-4

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14.- Probabilidades con diagramas en arbol y tablas de contingencia. Paso de uno a otro modo

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

  • Conversión de una tabla en diagrama de árbol

    Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.

    Tabla de
    contingencia
    A TOTAL
    B P( A B ) P( B ) P( B )
    P( A ) P( ) P( )
    TOTAL P( A ) P( ) 1

    En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.




    Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .

    Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:


    Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

    En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

    Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

  • Conversión de un diagrama en arbol en tabla de contingencia

    De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión

    P( BA ) = P( B/A ) · P( A ),

    para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Ejercicio 14-1 Ejercicio 14-2 Ejercicio 14-3 Ejercicio 14-4



tablas de contingencia y diagramas en arbol
15.- Tipos de espacios muestrales

A continuacion se procede a estudiar detenidamente los diversos tipos de espacios muestrales que pueden existir, asi como las probabilidades definidas en cada   $\sigma $-álgebra de sucesos  definida en dicho espacio muestral :
1.   Espacio muestral finito

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral finito    si es un conjunto    E    formado por un numero finito de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=n   siendo    n   un numero natural,es decir        .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=$\cal A$   y la probabilidad de cada suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen.
Veamoslo de forma esquematica



2.   Espacio muestral finito equiprobable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral finito equiprobable   si es un conjunto    E    formado por un numero finito de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=n   siendo    n   un numero natural es decir        , y ademas la probabilidad de cada suceso elemental toma siempre el mismo valor .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=$\cal A$   y la probabilidad de cada suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen y por tanto es el inverso del numero de elementos que lo componen.
Veamoslo de forma esquematica

      

3.  Espacio muestral numerable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral numerable   si es un conjunto    E    formado por una cantidad numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=$\cal A$   y la probabilidad de cada suceso es la suma finita o infinita de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen .
Veamoslo de forma esquematica

      

4.   Espacio muestral no numerable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral no numerable   si es un conjunto    E    formado por una cantidad no numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto verifica    Card(E)>Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    $\cal A$   y la probabilidad de cada suceso va en funcion de la definicion de la probabilidad asociada.
Veamoslo de forma esquematica

      


5.   Espacio muestral no numerable uniforme

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral no numerable y uniforme   si es un conjunto    E    formado por una cantidad no numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto verifica    Card(E)>Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la    $\cal A$  que es un   $\sigma $-álgebra de sucesos  es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    $\cal A$   y la probabilidad de cada suceso va en funcion de la medida uniforme de dicho conjunto. La medida puede ser longitud, superficie, volumen, etc. Esto da lugar a las olvidadas probabilidades geometricas tan interesantes
Veamoslo de forma esquematica

      

6.   Espacio muestral discreto

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral discreto    si es un espacio muestral finito o numerable .

7.   Espacio muestral continuo

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral continuo    si es un espacio muestral no numerable .


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